Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x³．求x∈R時(shí)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和所給的等式，求出函數(shù)的周期和-3≤x≤-1上的解析式，再根據(jù)周期性和圖象平移法則求出函數(shù)在R上的解析式．

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以4為最小正周期的周期函數(shù)，
當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，則-1≤x+2≤1，
∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x³，
∴f（x）=-f（x+2）═-（x+2）³，
又∵f（x）是以4為最小正周期的周期函數(shù)，
∴當(dāng)-1+4k≤x+4k≤1+4k（k∈Z）時(shí)，f（x）=f（x+4k）=（x+4k）³，
當(dāng)-3+4k≤x+4k≤-1+4k（k∈Z）時(shí)，則f（x）=f（x+4k）=-（x+2+4k）³．
綜上得，f(x)=

(x+4k)3               -1+4k≤x+4k≤1+4k -(x+2+4k)3     -3+4k≤x+4k≤-1+4k

，且（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化思想、圖象平移法則，難度較大．