Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

，曲線C的參數(shù)方程為

x= 2 cosθ y=sinθ

．
（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)M平行于直線l₁的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若|MA|•|MB|=

8

3

，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，直接寫出直線l的普通方程，消去參數(shù)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）以及平行于直線l₁的直線參數(shù)方程，直線l₁與曲線C聯(lián)立方程組，通過|MA|•|MB|=

8

3

，即可求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．通過兩個交點(diǎn)推出軌跡方程的范圍，

解答： 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

，所以直線斜率為1，直線l：y=x；
曲線C的參數(shù)方程為

x= 2 cosθ y=sinθ

．消去參數(shù)θ，
可得曲線C：

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）及過點(diǎn)M的直線為l1：

x=x0+ 2 t 2 y=y0+ 2 t 2

由直線l₁與曲線C相交可得：

3t2

2

+

2

tx0+2

2

ty0+x02+2y02-2=0|MA|•|MB|=

8

3

⇒|

x02+2y02-2

3 2

|=

8

3

，即：x02+2y02=6，
x²+2y²=6表示一橢圓…（8分）
取y=x+m代入

x2

2

+y2=1得：3x²+4mx+2m²-2=0
由△≥0得-

3

≤m≤

3

故點(diǎn)M的軌跡是橢圓x²+2y²=6夾在平行直線y=x±

3

之間的兩段弧…（10分）

點(diǎn)評：本題以直線與橢圓的參數(shù)方程為載體，考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，軌跡方程的求法，注意軌跡的范圍的求解，是易錯點(diǎn)．