Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+b|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≤3的解集，和已知的解集作對比，從而求得實(shí)數(shù)b的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x+3）+f（x+1）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）-（2x+1）|=4，它的最小值為4，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得

-3-b

2

≤x≤

3-b

2

．
再由不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，可得

-3-b

2

=-1，

3-b

2

=2，解得b=-1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|2x-1|，設(shè)g（x）=f（x+3）+f（x+1），
則g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）-（2x+1）|=4，
若f（x+3）+f（x+1）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，應(yīng)有4≥m．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，4]．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．