Question

19．已知函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+f（3）+…f（2016）=4032．

Answer 1

分析 由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的周期性，求得要求式子的值．

解答 解：∵已知函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的最大值為A+1=3，故A=2．
f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），
∵f（0）=2cos²φ+1=2，∴cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，φ=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=2cos²（ωx+$\frac{π}{4}$）+1=cos（2ωx+$\frac{π}{2}$）+2=-sin2ωx+2．
再根據其相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2ω}$=2，可得ω=$\frac{π}{4}$，f（x）=-sin$\frac{π}{2}$x+2，
故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4．
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+2+3+2=8，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）
=504•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=4032，
故答案為：4032．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，函數(shù)的周期性的應用，屬于基礎題．