Question

已知數列

1

1×3

，

1

3×5

，

1

5×7

，…

1

(2n-1)(2n+1)

（1）求出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想前n項和S_n并證明．

Answer 1

分析：（1）直接計算即可得出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）由（1）猜想Sn=

n

2n+1

．由

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”即可證明．

解答：解：（1）S1=

1

3

，S2=

1

3

+

1

3×5

=

2

5

，S₃=

2

5

+

1

5×7

=

3

7

，S4=

3

7

+

1

7×9

=

4

9

．
（2）由（1）猜想Sn=

n

2n+1

．
證明：∵

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題考查了“計算--猜想--證明”的方法、“裂項求和”等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．