已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx(a∈R)
①當(dāng)a=
12
時(shí),求函數(shù)在[1,e]上的最大值和最小值;
②討論函數(shù)的單調(diào)性;
③若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,不等式f(x)≥bx-2對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:①當(dāng)a=
1
2
時(shí)f(x)=
1
2
x-1-lnx,然后求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,然后與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,從而可求出函數(shù)的最大值和最小值;
②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論參數(shù)的取值,令f'(x)>0,可求出函數(shù)的增區(qū)間,令f'(x)<0,從而確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
③利用函數(shù)在x=1處取得極值,建立方程求的a,然后把不等式轉(zhuǎn)化為最值恒成立,然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.
解答:解:①當(dāng)a=
1
2
時(shí)f(x)=
1
2
x-1-lnx,f′(x)=
1
2
-
1
x
,由f′(x)=
1
2
-
1
x
=0
,得x=2.
當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0,當(dāng)0<x<2時(shí),f'(x)<0.因?yàn)閤∈[1,e],所以f(x)極小值=f(x)min=f(2)=-ln2
f(1)=-
1
2
,f(e)=
e
2
-2=
e-4
2
<-
1
2
,所以函數(shù)在[1,e]上的最大值是-
1
2
,最小值是-ln2.
f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
(x>0)

當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0,得x>
1
a
,由f'(x)<0得x<
1
a
,所以f(x)在(0,
1
a
)上單調(diào)遞減.在(
1
a
,+∞
)上單調(diào)遞增.
當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=-
1
x
<0恒成立.所以f(x)在(0,+∞)為減函數(shù)
當(dāng)a<0時(shí),f'(x)=
ax-1
x
<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,
1
a
)上單調(diào)遞減,在(
1
a
,+∞)
單調(diào)遞增,
當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減
f′(x)=a-
1
x
,依題意:f'(1)=a-1=0,a=1,所以f(x)=x-1-lnx
又f(x)≥bx-2對(duì)?x∈(0,+∞)恒成立恒成立.
即x-1-lnx≥bx-2,所以b≤
1
x
+1-
ln?x
x
在x∈(0,+∞]上恒成立
g(x)=
1-lnx
x
+1,x>0
,則g′(x)=
-2+ln?x
x2

當(dāng)0<x<e2時(shí),g'(x)<0.當(dāng)x>e2時(shí),g'(x)>0,
所以當(dāng)x=e2時(shí),g(e2)min=1-
1
e2
,所以b≤1-
1
e2
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題,以及對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題,解決不等式恒成立問(wèn)題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
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