Question

如下圖，球O的截面BCD把垂直于該截面的直徑分成1∶3兩部分，BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點，CA是球O的直徑.

（1）求證：平面ABD⊥平面ADC；

（2）如果球半徑為，D分弧BC為兩部分，且弧BD∶弧DC=1∶2，求AC與BD所成的角以及AC與BD的距離.

Answer 1

（1）證明：∵CA是球O的直徑，D為球面上一點，

∴△ADC在此球的大圓上，

∴CD⊥AD.

又BC是截面圓的直徑，

∴CD⊥BD.

又AD∩BD=D，

∴CD⊥平面ABD.

又∵CD平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ADC.

（2）解析：設OO₁=d，過C作CG∥BD交⊙O₁于G，連結BG，則BG∥CD，

∴∠ACG即為AC與BD所成的角，

由已知條件，可得d=R，

∴AB=2d=R,BC=2R×=R.

又D分弧BC為1∶2，

∴∠BCD=30°,

∴∠BO₁D=60°，

∴BD=BC·sin30°=R,

DC=BC·cos30°=R.

在Rt△ACG中，

cosACG=，

∴∠ACG=arccos，

即AC與BD所成角為arccos，

過B作BH⊥AG于H，

∵BD∥平面ACG，平面BAG⊥平面ACG，

∴BH為AC與BD的距離.

∴BH=.

∵R=,

∴BH=3.