Question

已知點(diǎn)(1，

1

3

)是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列b_n（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足：Sn-Sn-1=

Sn

 + 

Sn-1

(n≥ 2)．記數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
（1）求數(shù)列a_n和b_n的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+

1

2

＞Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)(1，

1

3

)是函數(shù)f（x）=a^x的圖象上一點(diǎn)，所以a=

1

3

，所以f（x）=(

1

3

)x，即可得到數(shù)列的前3項(xiàng)，進(jìn)而求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Sn-Sn-1=(

Sn

+

Sn-1

) (

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，所以數(shù)列{

Sn

}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以得到S_n，利用b_n=S_n-S_n-1求出答案．
（2）利用裂項(xiàng)相消的方法可得：T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

；進(jìn)而把原不等式化簡(jiǎn)為：當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt＞0恒成立；設(shè)g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，然后利用函數(shù)的有界性解決恒成立問(wèn)題即可得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)閒（1）=a=

1

3

，所以f（x）=(

1

3

)x，
所以a1=f(1)-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，所以a1=

a 2 2

a3

=-

2

3

=

1

3

-c，所以c=1．
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，所以an=-2(

1

3

)n；
由題意可得：Sn-Sn-1=(

Sn

+

Sn-1

) (

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，
又因?yàn)閎_n＞0，所以

Sn

-

Sn-1

=1；
所以數(shù)列{

Sn

}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，并且有

Sn

=n，所以Sn=n2；
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n-1；
所以b_n=2n-1．
（2）因?yàn)閿?shù)列{

1

bnbn+1

}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
所以Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×(1- 

1

3

 +

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

；
因?yàn)楫?dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+

1

2

＞Tn恒成立，
所以只要當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t²-2mt＞0恒成立即可，
設(shè)g（m）=-2tm+t²，m∈[-1，1]，
所以只要一次函數(shù)g（m）＞0在m∈[-1，1]上恒成立即可，
所以

g(1)=t2-2t≥0 g(-1)=t2+2t≥0

，
解得t≤-2或t≥2或t=0，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）或者t=0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列、不等式與函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和的方法，以及把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．