Question

5．市場(chǎng)上有一種新型的強(qiáng)力洗衣液，特點(diǎn)是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a•f（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{8-x}-1，0≤x≤4}\\{5-\frac{1}{2}x，4＜x≤10}\end{array}\right.$．若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用．
（1）當(dāng)一次投放a=4個(gè)單位的洗衣液時(shí)，求在2分鐘時(shí)，洗衣液在水中釋放的濃度．
（2）在（1）的情況下，即一次投放4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？
（3）若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液，6分鐘后再投放2個(gè)單位的洗衣液，請(qǐng)你寫出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度y（克/升）與時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，求出最低濃度，并判斷接下來(lái)的四分鐘是否能夠持續(xù)有效去污．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）的表達(dá)式，解不等式即可．
（3）根據(jù)條件建立第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度y（克/升）與時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵a=4，∴y=4•f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4，0≤x≤4}\\{20-2x，4＜x≤10}\end{array}\right.$．
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{64}{8-2}$-4=$\frac{64}{6}$-4=$\frac{20}{3}$
（2）則由（1）知，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由$\frac{64}{8-x}-4≥4$，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4．
當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8．
綜上，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)8分鐘．
（3）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=2×（5-$\frac{1}{2}x$）+2[$\frac{16}{8-（x-6）}-1$]=（14-x）+$\frac{32}{14-x}$-6，
∵14-x∈[4，8]，
∴y=（14-x）+$\frac{32}{14-x}$-6≥2$\sqrt{（14-x）•\frac{32}{14-x}}$-6=8$\sqrt{2}$-6，
當(dāng)且僅當(dāng)14-x=$\frac{32}{14-x}$，即x=14-4$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴y有最小值8$\sqrt{2}$-6≈5.2＞4，
∴接下來(lái)的四分鐘能夠持續(xù)有效去污．
令8$\sqrt{a}$-a-4≥4，解得24-16$\sqrt{2}$≤a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的應(yīng)用以及分段函數(shù)的意義及基本不等式的運(yùn)用、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．