某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)一百臺,需要新增加投入2.5萬元.經(jīng)調(diào)查,市場一年對此產(chǎn)品的需求量為500臺;銷售收入為R(t)=6t-
12
t2(萬元),(0<t≤5),其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺).
(說明:①利潤=銷售收入-成本;②產(chǎn)量高于500臺時,會產(chǎn)生庫存,庫存產(chǎn)品不計于年利潤.)
(1)把年利潤y表示為年產(chǎn)量x(x>0)的函數(shù);
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時,工廠所獲得年利潤最大?
分析:(1)利潤函數(shù)y=銷售收入函數(shù)R(x)-成本函數(shù),討論x的大小,利用分段函數(shù)表示出年利潤y表示為年產(chǎn)量x(x>0)的函數(shù);
(2)由利潤函數(shù)是分段函數(shù),分段求出最大值,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應(yīng)的自變量x的值,比較兩段的最大值即可求出所求.
解答:解:(1)當(dāng)0<x≤5時
f(x)=6x-
1
2
x2-0.5-2.5x
=-
1
2
x2+3.5x-0.5(3分)
當(dāng)x>5時
f(x)=6×5-
1
2
×52-0.5-2.5x=17-2.5x(5分)
即f(x)=
-0.5x2+3.5x-0.5(0<x≤5)
17-2.5x(x>5)
(6分)
(2)當(dāng)0<x≤5時
f(x)=-
1
2
(x2-7x+1)=-
1
2
(x-
7
2
2+
45
8
(9分)
∴當(dāng)x=3.5∈(0,5]時,f(x)max=
45
8
=5.625
當(dāng)x>5時,f(x)為(5,+∞)上的減函數(shù)
f(x)<f(5)=17-2.5×5=4.5
又5.625>4.5(11分)
∴f(x)max=f(3.5)=5.625
故當(dāng)年產(chǎn)量為350臺時,工廠所獲年利潤最大.(12分)
點評:本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,以及利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值,同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元,且每生產(chǎn)100部,需要增加投入2500元,對銷售市場進(jìn)行調(diào)查后得知,市場對此產(chǎn)品的需求量為每年500部.已知年銷售收入為H(x)=500x-
12
x2
,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量.
(1)若x為年產(chǎn)量,y表示年利潤,求y=f(x)的表達(dá)式.(年利潤=年銷售收入-投資成本(包括固定成本))
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時,工廠的年利潤最大,其最大值是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定收入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)100臺,需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺,銷售的收入函數(shù)R(x)=5x-
x22
(萬元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺)
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)
(2)年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?
(3)年產(chǎn)量是多少時,工廠才不虧本?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元,且每生產(chǎn)100部,需要加大投入2500元.對銷售市場進(jìn)行調(diào)查后得知,市場對此產(chǎn)品的需求量為每年500部,已知銷售收入函數(shù)為H(x)=500x-
12
x2
,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量0≤x≤500.
(1)若為x年產(chǎn)量,y表示利潤,求y=f(x)的解析式
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時,工廠的年利潤最大?其最大值是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產(chǎn)一臺,需要增加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺.銷售的收入函數(shù)為(萬元),其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位:百臺).

把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù);

年產(chǎn)量是多少時,工廠所得利潤最大?

年產(chǎn)量是多少時,工廠才不虧本?

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