Question

給出下列命題：
①已知函數(shù)f(x)=(

1

2x-1

)•x2-sinx+a(a為常數(shù))，且f（log_a1000）=3，則f（lglg2）=3；
②若函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a∈（-4，0）；
③關(guān)于x的方程(

1

2

)x=lga有非負(fù)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，10）；
④如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分別是AB，AC的中點(diǎn)，平面EB₁C₁F將三棱柱分成幾何體AEF-AB₁C₁和B₁C₁-EFCB兩部分，其體積分別為V₁，V₂，則V₁：V₂=7：5．
其中正確命題的序號(hào)是

①③④

．

Answer 1

分析：①、假設(shè)為真，則log_a1000=lglg2，若存在大于0且不為1的實(shí)數(shù)a，則命題為真，否則為假；
②、由于函數(shù)值域是R，則真數(shù)取遍（0，+∞）的所有數(shù)，進(jìn)而得到a的范圍；
③、由題意知，0＜lga＜1，解出不等式即可；
④、依據(jù)棱柱與棱臺(tái)的體積公式，求出體積，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：①、由題意知，函數(shù)f(x)=(

1

2x-1

)•x2-sinx+a(a為常數(shù))既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，
若命題為真命題，則log_a1000=lglg2，
由于lglg2∈（-∞，0），則存在實(shí)數(shù)a∈（0，1）使上述方程成立，故①正確；
②、由于函數(shù)值域是R，則真數(shù)t=x²+ax-a需取遍（0，+∞）的所有數(shù)，
則△=a²+4a≥0，解得 a≤-4或a≥0，故②錯(cuò)；
③、由于x的方程(

1

2

)x=lga有非負(fù)實(shí)數(shù)根，所以x＞0，則(

1

2

)x∈(0，1)
得到0＜lga＜1，解得1＜a＜10，故③正確；
④、若設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積為S，高為h，則其體積為Sh，
由題意可得三棱臺(tái)AEF-AB₁C₁的上下兩底面的面積分別是S與

1

4

S，高為h，
得到此三棱臺(tái)的體積是

7

12

Sh，則另一部分的體積是

5

12

Sh，故④正確．
故答案為 ①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．