Question

9．若cosx-cosy=$\frac{1}{2}$，sinx-siny=$\frac{1}{3}$，則sin（x+y）=-$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 解法一：對(duì)2個(gè)條件關(guān)系式分別進(jìn)行和差化積，再相除可得tan$\frac{x+y}{2}$的值，再利用萬能公式可得答案；
解法二：由$\left\{\begin{array}{l}{cosx-cosy=\frac{1}{2}}\\{sinx-siny=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cos[（x+y）-y]-cos[（x+y）-x]=\frac{1}{2}①}\\{sin[（x+y）-y]-sin[（x+y）-x]=\frac{1}{3}②}\end{array}\right.$；
再分別化簡(jiǎn)①、②，得出關(guān)于sin（x+y）與sin（x+y）的二元一次方程組，再求sin（x+y）的值．

解答 解法一：由cosx-cosy=$\frac{1}{2}$，得-2sin$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{2}$①，
由sinx-siny=$\frac{1}{3}$，得2cos$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{3}$②；
$\frac{①}{②}$得，-tan$\frac{x+y}{2}$=$\frac{3}{2}$，即tan$\frac{x+y}{2}$=-$\frac{3}{2}$；
∴sin（x+y）=$\frac{2tan\frac{x+y}{2}}{1{+tan}^{2}\frac{x+y}{2}}$=$\frac{2×（-\frac{3}{2}）}{1{+（-\frac{3}{2}）}^{2}}$=-$\frac{12}{13}$．
解法二：由$\left\{\begin{array}{l}{cosx-cosy=\frac{1}{2}}\\{sinx-siny=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{cos[（x+y）-y]-cos[（x+y）-x]=\frac{1}{2}①}\\{sin[（x+y）-y]-sin[（x+y）-x]=\frac{1}{3}②}\end{array}\right.$；
由①得，[cos（x+y）]cosy+sin（x+y）siny]-[cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx]=$\frac{1}{2}$，
即cos（x+y）（cosy-cosx）+sin（x+y）（siny-sinx）=$\frac{1}{2}$，
整理得，-$\frac{cos（x+y）}{2}$-$\frac{sin（x+y）}{3}$=$\frac{1}{2}$，
即2sin（x+y）+3cos（x+y）=-3③；
由②得，[sin（x+y）cosy-cos（x+y）siny]-[sin（x+y）cosx-cos（x+y）sinx]=$\frac{1}{3}$，
即sin（x+y）（cosy-cosx）+cos（x+y）（sinx-siny）=$\frac{1}{3}$，
整理得，-$\frac{sin（x+y）}{2}$+$\frac{cos（x+y）}{3}$=$\frac{1}{3}$，
即3sin（x+y）-2cos（x+y）=-2④；
由③④聯(lián)立，消去cos（x+y），得sin（x+y）=-$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與應(yīng)用問題，也考查了構(gòu)造法與解方程組的問題，是基礎(chǔ)題目．