Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x|+ax+a．
（1）當(dāng)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求函數(shù)的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=|x²-2x|與函數(shù)y=-ax-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．
（2）函數(shù)f（x）=|x²-2x|+ax+a=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（a-2）x+a，x＜0，或x＞2\\-{x}^{2}+（a+2）x+a，0≤x≤2\end{array}\right.$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論可得答案．

解答 解：（1）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)y=|x²-2x|與函數(shù)y=-ax-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示：

若y=-ax-a與y=x²-2x，x＜0相切，則（a-2）²-4a=0，
解得：a=4+2$\sqrt{3}$，或a=4-2$\sqrt{3}$（舍去），
若y=-ax-a與y=-x²+2x，0＜x＜2相切，則（a-2）²-4a=0，
解得：a=-4+2$\sqrt{3}$，或a=-4-2$\sqrt{3}$（舍去），
故a∈（-∞，-4+2$\sqrt{3}$）∪{0}∪（4+2$\sqrt{3}$，+∞）；
（2）函數(shù)f（x）=|x²-2x|+ax+a=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（a-2）x+a，x＜0，或x＞2\\-{x}^{2}+（a+2）x+a，0≤x≤2\end{array}\right.$，
若$-\frac{a-2}{2}＜0$，即a＞2，則$\frac{a+2}{2}$＞2，則當(dāng)x=$-\frac{a-2}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$-\frac{1}{4}{a}^{2}+2a-1$，
若$0≤-\frac{a-2}{2}≤2$，即-2≤a≤2，則0≤$\frac{a+2}{2}$≤2，
由f（0）=a，f（2）=3a得：
-2≤a≤0時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值3a；
0＜a≤2時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值a；
若$-\frac{a-2}{2}＞2$，即a＜-2，則$\frac{a+2}{2}$＜0，則當(dāng)x=$-\frac{a-2}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$-\frac{1}{4}{a}^{2}+2a-1$，
綜上可得：函數(shù)的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}{a}^{2}+2a-1，a＜-2，或a＞2\\ 3a，-2≤a≤0\\ a，0＜a≤2\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．