Question

已知直線(xiàn)y=kx-4k+1與曲線(xiàn)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：化簡(jiǎn)曲線(xiàn)方程可得曲線(xiàn)為2個(gè)圓，當(dāng)直線(xiàn)和每一個(gè)圓相切時(shí)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得k的值，即可求得k的范圍．
解答：解：由曲線(xiàn)，可得當(dāng)y≥1時(shí)，（x-1）²+（y-3）²=1，
表示一個(gè)以A（1，3）為圓心，半徑等于1的圓．
當(dāng)y＜1時(shí)，由曲線(xiàn)方程可得（x-1）²+（y+1）²=1，表示以B（1，-1）為圓心，以1為半徑的一個(gè)圓．
由于直線(xiàn)y=kx-4k+1=k（x-4）+1 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（4，1）．
①當(dāng)直線(xiàn)和圓（x-1）²+（y-3）²=1相切時(shí)，由圓心A（1，3）到直線(xiàn)的距離d=r=1=，
解得 k=，k=．
②當(dāng)直線(xiàn)和圓（x-1）²+（y+1）²=1相切時(shí)，由圓心B（1，-1）到直線(xiàn)的距離d′=r′=1=，
解得 k=，或 k=．
根據(jù)直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
結(jié)合圖形可得k的范圍是{，，，}，
故答案為 {，，，}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．