Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且對任意的n∈N^*n，≥2，a_n總是3S_n-4與2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n；
（2）證明：

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)＜log2Sn+1；
（3）若bn=

4

an

-1，cn=log2(

4

an

)2，T_n，R_n分別為{b_n}、{c_n}的前n項(xiàng)和．問：是否存在正整數(shù)n，使得T_n＞R_n，若存在，請求出所有n的值，否則請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件對任意的n∈N^*，n≥2時(shí)，a_n總是3S_n-4與2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)，可得2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1，由此遞推關(guān)系進(jìn)行恒等變形，由于本題要確定等比關(guān)系，故可研究數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的積，結(jié)合所得的遞推關(guān)系，易得結(jié)論．
（2）由（1）可得S_n=4-(

1

2

)n-2，由于

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)＜log2Sn+1與證S_nS_n+2＜S_n+1²等價(jià)，欲證不等式成立，只須證S_nS_n+2＜S_n+1²成立即可；
（3）由題設(shè)條件求出兩數(shù)列{b_n}、{c_n}的通項(xiàng)公式，再求出它們的前n項(xiàng)和T_n，R_n的表達(dá)式，對兩者的大小進(jìn)行探究即可得到答案

解答：解：（1）證：n≥2時(shí)，2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1，即2（S_n-S_n-1）=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1
∴S_n=

1

2

Sn-1+2，
由上得2+a2=

1

2

×2+2=3⇒a2=1（3分）
故

an+1

an

=

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

( 1 2 Sn+2)-( 1 2 Sn-1+2)

Sn-Sn-1

=

1

2

（n≥2），
又

a2

a1

=

1

2

∴數(shù)列{a_n}是公比為

1

2

等比數(shù)列
∴an=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

．（6分）
（2）證：S_n=4-(

1

2

)n-2，要證

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)＜log2Sn+1，只要證S_nS_n+2＜S_n+1²．
又SnSn+2=[4-(

1

2

)n-2][4-(

1

2

)n]=16-5(

1

2

)n-2+(

1

2

)2n-2，

S

2 n+1

=[4-(

1

2

)n-1]2=16-4(

1

2

)n-2+(

1

2

)2n-2
∴S_nS_n+2＜S_n+1²，即

1

2

(log2Sn+log2Sn+2)＜log2Sn+1．（10分）
（3）解：b_n=2ⁿ-1，c_n=log₂（2ⁿ）²=2n，T_n=2ⁿ⁺¹-n-2，R_n=n²+n
當(dāng)n=1，2，3時(shí)，T_n＜R_n，
當(dāng)n=4，5時(shí)，T_n＞R_n，即2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2．
n≥6時(shí)，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²+…C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ+1＞2（C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²）=n²+3n+4＞n²+2n+2
∴當(dāng)n≥4時(shí)，T_n＞R_n

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的確定，數(shù)列中不等式關(guān)系的證明，是數(shù)列中難度較高的題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件及要證明的結(jié)論進(jìn)行構(gòu)造，在第一小題中研究出數(shù)列各的遞推關(guān)系很重要，在第二小題的證明中，首先利用分析法，將不等式的證明轉(zhuǎn)化成了其等價(jià)的形式的證明，大大簡化了證明難度，在第三小題中，由于是比較兩個(gè)數(shù)列的和的大小，故由題設(shè)條件研究出兩數(shù)列的性質(zhì)求出兩數(shù)列的和是關(guān)鍵，解本題的難點(diǎn)是對兩個(gè)數(shù)列的和的形式進(jìn)行探究，結(jié)合二項(xiàng)式定理用放放縮法比較兩者的大小是解題的關(guān)鍵，本大題涉及到的知識(shí)多，為了達(dá)成問題的解決，多次轉(zhuǎn)化，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是成功解題的重中之重！