Question

17．已知P是雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1右支上任意一點(diǎn)，M是圓（x+5）²+y²=1上任意一點(diǎn)，設(shè)P到雙曲線的漸近線的距離為d，則d+|PM|的最小值為9．

Answer 1

分析 判斷圓（x+5）²+y²=1的圓心正好是雙曲線的左焦點(diǎn)F₁（-5，0），根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
則圓（x+5）²+y²=1的圓心正好是雙曲線的左焦點(diǎn)F₁（-5，0），
根據(jù)題意可得：d+|PM|≥d+|PF₁|-1=d+6+|PF₂|-1=d+|PF₂|+5，
結(jié)合圖象可知d+|PF₂|的最小值為F₂到漸近線的距離，
因?yàn)镕₂到漸近線的距離為4，
所以d+|PM|的最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及雙曲線的定義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．