Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-x

1+x

（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-

4

5

，2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g(x)=

1-x

1+x

，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）解不等式：f（t²-2t-2）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列出方程，求出a，即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g(x)=

1-x

1+x

，用函數(shù)單調(diào)性的定義，通過(guò)作差、化簡(jiǎn)、比較大小，即可證明：函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）利用函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)不等式：f（t²-2t-2）＜0．通過(guò)解分式不等式求出結(jié)果即可．

解答： 解：（1）f(-

4

5

)=loga

1-(- 4 5 )

1+(- 4 5 )

=2，解得：a²=9，∵a＞0 且a≠1∴a=3；…（3分）
（2）設(shè)x₁、x₂為（-1，1）上的任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，則x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0
∵g（x₁）-g（x₂）=

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

  …（6分）
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂）．
∴g(x)=

1-x

1+x

在區(qū)間（-，1）上單調(diào)遞減．…（8分）
（3）∵log3

1-(t2-2t-2)

1+(t2-2t-2)

＜0
∴0＜

1-(t2-2t-2)

1+(t2-2t-2)

＜1…（10分）
由

1-(t2-2t-2)

1+(t2-2t-2)

＜1，
得：t²-2t-2＞0或t²-2t-2＜-1；
由

1-(t2-2t-2)

1+(t2-2t-2)

＞0
得：-1＜t²-2t-2＜1，
∴0＜t²-2t-2＜1…（13分）
∴-1＜t＜1-

3

或1+

3

＜t＜3．                    …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極限的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的求法，單調(diào)性的應(yīng)用的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．