Question

19．某中學(xué)對(duì)男女學(xué)生是否喜愛(ài)古典音樂(lè)進(jìn)行了一個(gè)調(diào)查，調(diào)查者對(duì)學(xué)校高三年級(jí)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如表：

	喜愛(ài)	不喜愛(ài)	總計(jì)
男學(xué)生	60		80
女學(xué)生
總計(jì)	70	30

（1）完成如表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“男學(xué)生和女學(xué)生喜歡古典音樂(lè)的程度有差異”；
（2）從以上被調(diào)查的學(xué)生中以性別為依據(jù)采用分層抽樣的方式抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生去某古典音樂(lè)會(huì)的現(xiàn)場(chǎng)觀看演出，求正好有X個(gè)男生去觀看演出的分布列及期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）列出2×2列聯(lián)表，求出K²的值，判斷有95%的把握認(rèn)為“男學(xué)生和女學(xué)生喜歡古典音樂(lè)的程度有差異”；
（2）先確定X的取值，分別求其概率，求出分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）2×2列聯(lián)表

	喜愛(ài)	不喜愛(ài)	總計(jì)
男學(xué)生	60	20	80
女學(xué)生	10	10	20
總計(jì)	70	30	100

∴K²=$\frac{100×（60×10-20×10）^{2}}{70×30×80×20}$=$\frac{100}{21}$≈4.762＞3.841，
∴有95%的把握認(rèn)為“男學(xué)生和女學(xué)生喜歡古典音樂(lè)的程度有差異”；
（2）由題意，10名學(xué)生中有8名男生和2名女生，故X的取值為3，4，5．
P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{9}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{9}$，P（X=5）=$\frac{{C}_{8}^{5}{C}_{2}^{0}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{9}$，
X的分布列

X	3	4	5
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

期望EX=3×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{5}{9}$+5×$\frac{2}{9}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．