Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{{{{（x+a）}^2}}}$，若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥0．

Answer 1

分析 對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁ 總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），即為f（x）在x≠-a處無(wú)最小值；討論a=0，a＞0，a＜0，求得單調(diào)區(qū)間和極值即可求出a的范圍．

解答 解：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x₁ 總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），即為f（x）在x≠-a處無(wú)最小值；
①a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$無(wú)最小值顯然成立；
②a＞0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=$\frac{3a-x}{（x+a）^{2}}$，可得f（x）在（-∞，-a）上遞減，在（-a，3a）上遞增，在（3a，+∞）遞減，
即有f（x）在x=3a處取得極大值；
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞0；x＜a時(shí)，f（x）＜0．取x₁＜a，x₂≠-a即可；
當(dāng)x＜-a時(shí)，f（x）在（-∞，-a）遞減，且x₁＜${x}_{1}+\frac{1}{2}|{x}_{1}+a|$＜-a，
f（x₁）＞f（＜${x}_{1}+\frac{1}{2}|{x}_{1}+a|$），故存在x₂=x₁+$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）；
同理當(dāng)-a＜x₁＜a時(shí)，令x₂=x₁-$\frac{1}{2}$|x₁+a|，使得f（x₂）＜f（x₁）也符合；
則有當(dāng)a＞0時(shí)，f（x₂）＜f（x₁）成立；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，3a）上遞減，在（3a，a）上遞增，在（-a，+∞）上遞減，即有f（x）在x=3a處取得極小值，
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞0； x＜a時(shí)，f（x）＜0．
f（x）_min=f（3a），當(dāng)x₁=3a時(shí)，不存在x₂，使得f（x₂）＜f（x₁）成立．
綜上可得，a的取值范圍是：[0，+∞）
故答案為：a≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．