分析 (1)推導(dǎo)出BF⊥AE,BC⊥AB,從而B(niǎo)C⊥AE,由此能證明AE⊥平面BCE.
(2)以A為原點(diǎn),垂直于平面ABCD的直線(xiàn)AG為x軸,AB為y軸,AD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出當(dāng)二面角B-AC-E的余弦值為√33時(shí),∠BAE的大小.
解答 證明:(1)∵點(diǎn)B在平面ACE上的射影F恰好落在邊CE上,∴BF⊥平面ACE
∵AE?平面ACE,∴BF⊥AE,
∵平面ABCD⊥平面ABE,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
平面ABCD∩平面ABE=AB,BC?平面ABCD,
∴BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE,
又BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE.
解:(2)以A為原點(diǎn),垂直于平面ABCD的直線(xiàn)AG為x軸,AB為y軸,AD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(0,0,0),C(0,2,2),
設(shè)E(a,b,0),則→AE=(a,b,0),→AC=(0,2,2),
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量→n=(x,y,z),
則{→AE•→n=ax+bx=0→AC•→n=2y+2z=0,取y=a,得→n=(-b,a,-a),
又平面ABC的一個(gè)法向量→m=(1,0,0),
∵二面角B-AC-E的余弦值為√33,
∴|cos<→m,→n>|=|→m•→n||→m|•|→n|=|−b|√2a2+2=√33,
解得a2=b2,①
又∵AE⊥平面BCE,BE?平面BCE,∵AE⊥BE,
∴→AE•→BE=a2+b(b-2)=0,②
聯(lián)立①②,得b=0,(舍,b=1,∴a2=b2=1,
∴AE=BE=2,∴∠BAE=π4.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明,考查角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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