已知函數(shù)f(x)=mx3-x的圖象上,以N(1,n)為切點(diǎn)的切線的傾斜角為.

(1)求m、n的值;

(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-1 991對(duì)于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,請(qǐng)求出最小的正整數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說明理由;

(3)求證:|f(Sinx)+f(coSx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).

解:(1)f′(x)=3Mx2-1,依題意,得tan=f′(1),即1=3M-1,M=.?

f(x)=x3-x.把N(1,n)代入,得n=f(1)=-.?

M=,n=-.                                                                                                      

(2)令f′(x)=2x2-1=0,得x,?

當(dāng)-1<x<-時(shí),f′(x)=2x2-1>0;?

當(dāng)-x時(shí),f′(x)=2x2-1<0;?

當(dāng)x<3時(shí),f′(x)=2x2-1>0.?

f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15,?

因此,當(dāng)x∈[-1,3]時(shí),-f(x)≤15.                                                               ?

要使得不等式f(x)≤k-1 991對(duì)于x∈[-1,3]恒成立,則k≥15+1 991=2 006.  ?

∴存在最小的正整數(shù)k=2 006,使得不等式f(x)≤k-1 991對(duì)于x∈[-1,3]恒成立.?

(3)證法一:|f(sinx)+f(cosx)|?

=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|?

=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|?

=|(sinx+cosx)[(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|?

=|sinx+cosx|·|-sinxcosx-|?

=|sinx+cosx|3?

=|2sin(x+)|3.                                                                                  

又∵t>0,

t+,t2+≥1.?

2f(t+)=2[(t+)3-(t+)]=2(t+)[(t2+1+)-1]?

=2(t+)[(t2+)-]≥2(-)=.?

綜上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).                                      ?

證法二:由(2)知函數(shù)f(x)在[-1,-]上是增函數(shù);在[-,]上是減函數(shù);在[,

1]上是增函數(shù).?

f(-1)= ,f(-)=,f()=-,f(1)=-,?

∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),-f(x)≤,?

即|f(x)|≤.?

∵sinx,cosx∈[-1,1],?

∴|f(sinx)|≤,|f(cosx)|≤.?

∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+ |f(cosx)|≤+=.                            ?

又∵t>0,∴T+>1,且函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù).?

2f(t+)≥2f()=2[()3-2]=.?

綜上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t>0).


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-
22x+1
是R上的奇函數(shù),
(1)求m的值;
(2)先判斷f(x)的單調(diào)性,再證明之.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湘潭三模)已知函數(shù)f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x
,(其中常數(shù)m>0)
(1)當(dāng)m=2時(shí),求f(x)的極大值;
(2)試討論f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)m∈[3,+∞)時(shí),曲線y=f(x)上總存在相異兩點(diǎn)P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2)),使得曲線y=f(x)在點(diǎn)P、Q處的切線互相平行,求x1+x2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-
1
1+ax
(a>0且a≠1,m∈R)
是奇函數(shù).
(1)求m的值.
(2)當(dāng)a=2時(shí),解不等式0<f(x2-x-2)<
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m•3x-1
3x+1
是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若x滿足不等式4x+
1
2
-5•2x+1+8≤0
,求此時(shí)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x
x∈[0,
π
2
]
時(shí)有最大值為
7
2
,則實(shí)數(shù)m的值為
 

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