Question

6．2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)將在中國杭州舉行，為使我國運(yùn)動(dòng)員能奪得首項(xiàng)金牌，組委會(huì)將我國運(yùn)動(dòng)員的某強(qiáng)項(xiàng)設(shè)置為產(chǎn)生金牌的第一個(gè)項(xiàng)目．已知我國參加該項(xiàng)目有甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員，他們能獲得獎(jiǎng)牌的概率依次為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$，能獲得金牌的概率依次為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的概率；
（Ⅱ）求我國運(yùn)動(dòng)員獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的對(duì)立事件是甲、乙、丙三人都沒有獲得金牌，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出我國運(yùn)動(dòng)員獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的對(duì)立事件是甲、乙、丙三人都沒有獲得金牌，
∴我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的概率：
p=1-（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{9}$．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）²=$\frac{4}{125}$，
P（X=1）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{2}+$${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{\;}×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{28}{125}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{57}{125}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{125}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{57}{125}$	$\frac{36}{125}$

E（X）=$0×\frac{4}{125}+1×\frac{28}{125}+2×\frac{57}{125}+3×\frac{36}{125}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．