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6.2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)將在中國杭州舉行,為使我國運(yùn)動(dòng)員能奪得首項(xiàng)金牌,組委會(huì)將我國運(yùn)動(dòng)員的某強(qiáng)項(xiàng)設(shè)置為產(chǎn)生金牌的第一個(gè)項(xiàng)目.已知我國參加該項(xiàng)目有甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員,他們能獲得獎(jiǎng)牌的概率依次為45,35,35,能獲得金牌的概率依次為1213,13
(Ⅰ)求我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的概率;
(Ⅱ)求我國運(yùn)動(dòng)員獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析 (Ⅰ)我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的對(duì)立事件是甲、乙、丙三人都沒有獲得金牌,由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的概率.
(Ⅱ)X的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出我國運(yùn)動(dòng)員獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(Ⅰ)我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的對(duì)立事件是甲、乙、丙三人都沒有獲得金牌,
∴我國運(yùn)動(dòng)員能獲得首項(xiàng)金牌的概率:
p=1-(1-12)(1-13)(1-13)=79
(Ⅱ)X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)=(1-45)(1-352=4125,
P(X=1)=45×1352+C12×35×135×145=28125
P(X=2)=C1235135×45+(1-45)×352=57125,
P(X=3)=45×352=36125
∴X的分布列為:

 X 0 1 2 3
 P 4125 28125 57125 36125
E(X)=0×4125+1×28125+2×57125+3×36125=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.

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