Question

過(guò)點(diǎn)P（1，1）作曲線y=x³的兩條切線l₁，l₂，若l₁和l₂的夾角為θ，則tanθ=

 

．

Answer 1

分析：判斷點(diǎn)P在曲線上，可以得出過(guò)點(diǎn)P的切線方程的斜率，想法求出另一切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出另一條切線的斜率，利用夾角公式即可．

解答：解：∵y=x³，∴y′=3x²，
∵點(diǎn)P（1，1），
∴點(diǎn)P在作曲線y=x³上，
∴過(guò)點(diǎn)P的一條切線l₁的斜率為3，
設(shè)點(diǎn)M（t，t³）為曲線上的另一切點(diǎn)，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，y′=3t²=

t3-1

t-1

=t²+t+1（t≠1），
即（2t+1）（t-1）=0，得t=-

1

2

或t=1（舍去）．
∴過(guò)點(diǎn)P的另一條切線l₂的斜率為

3

4

，
∴tanθ=|

3- 3 4

1+3• 3 4

|=

9

13

．
故答案為：

9

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩條直線夾角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出切線的斜率是關(guān)鍵．