Question

已知橢圓C：+=1 （a＞b＞0）以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x=4分別交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

解：（1）易知雙曲線的焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），離心率為，
則在橢圓C中a=2，e=，故在橢圓C中c=，b=1，∴橢圓C的方程為．
（2）①設(shè)M（x₀，y₀）（x₀≠±2），由題易知A（-2，0），B（2，0），則k_MA=，k_MB=，
∴k_MA•k_MB==，
∵點(diǎn)M在橢圓C上，∴，即=-，故k_MA•k_MB=，即直線MA，MB的斜率之積為定值．
②設(shè)P（4，y₁），Q（4，y₂），則k_MA=k_PA=，k_MB=k_BQ=，
由①得，即y₁y₂=-3，當(dāng)y₁＞0，y₂＜0時(shí)，|PQ|=|y₁-y₂|≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=，y₂=-時(shí)等號(hào)成立．
同理，當(dāng)y₁＜0，y₂＞0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=-，y₂=時(shí)，|PQ|有最小值2．
分析：（1）利用橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）①利用點(diǎn)在橢圓上、斜率計(jì)算公式即可證明；
②利用①的結(jié)論、斜率計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可求出．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握?qǐng)A錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明的結(jié)論是常用的方法之一．