Question

橢圓有兩頂點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)|CD|=

3

2

2

時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：

OP

•

OQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓有兩頂點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），焦點(diǎn)F（0，1），可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，b=1，c=1，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式可求出直線l的方程；
（Ⅱ）根據(jù)過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l的方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，該直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，和直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入

OP

•

OQ

即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=

2

，
橢圓的方程為

y2

2

+x2=1，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

，
∴|CD|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( - 2k k2+2 )2+4 1 k2+2

=

2 2( k2+ 1)

k2+2

=

3

2

2

，
解得k=±

2

．
∴直線l的方程為y=±

2

x+1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

k

，0），
由（Ⅰ）知x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

，
且直線AC的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)，且直線BD的方程為y=

y2

x2-1

(x-1)，
將兩直線聯(lián)立，消去y得

x+1

x-1

= 

y2(x1+1)

y1(x2-1)

，
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴

x+1

x-1

與

y2

y1

異號，
(

x+1

x-1

)2=

y22(x1+1)2

y12( x2-1)2

=

2-2x22

2-2x12

•

(x1+1)2

(x2-1)2

=

(1+x1)(1+x2)

(1-x1)(1-x2)

=

1- 2k k2+2 - 1 k2+2

1+ 2k k2+2 - 1 k2+2

=(

k-1

k+1

)2，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=k2(-

1

k2+2

) +k( - 

2k

k2+2

)+1=-

2(1+k)2

k2+2

k-1

k+1

，
∴

k-1

k+1

與y₁y₂異號，

x+1

x-1

與

k-1

k+1

同號，
∴

x+1

x-1

=

k-1

k+1

，解得x=-k，
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-k，y₀），

OP

•

OQ

=（-

1

k

，0）•（-k，y₀）=1，
故

OP

•

OQ

為定值．

點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想．