Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（I）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，則PF

∥ .

.

1

2

DC，由EA

∥ .

.

1

2

DC，知四邊形AFPE是平行四邊形，由此能夠證明AF∥面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點(diǎn)和AB平行的直線作為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），則

AB

=(0，2，0)，

BE

=(0，-2，1)，

BD

=(-2，-2，2)，由面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AB⊥AC，知

AB

=(0，2，0)是平面CDE的一個(gè)法向量，由面BDE的一個(gè)法向量

n

=(1，1，2)，能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答：解：（I）取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，則PF

∥ .

.

1

2

DC，∵EA

∥ .

.

1

2

DC，∴EA

∥ .

.

PF，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點(diǎn)和AB平行的直線作為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
則

AB

=(0，2，0)，

BE

=(0，-2，1)，

BD

=(-2，-2，2)
∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，
AB⊥AC，∴AB⊥面ACDE，
∴

AB

=(0，2，0)是平面CDE的一個(gè)法向量，
設(shè)面BDE的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），則

n

⊥

BE

，

n

⊥

BD

，
∴

n • BE =0 n • BD =0

，即

-2y+z=0 -2x-2y+2z=0

，
整理，得

2y-z=0 x+y-z=0

，
令y=1，則z=2，x=1，∴

n

=(1，1，2)是平面CDE的一個(gè)法向量，
故cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

1×2

2× 6

=

6

6

，
由圖形知二面角B-DE-C的平面角θ∈(0，

π

2

)，
所以二面角B-DE-C的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，二查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題上，合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運(yùn)用．