【題目】設a,b,c分別是的三條邊,且.我們知道,如果為直角三角形,那么(勾股定理).反過來,如果,那么為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,為直角三角形的充要條件是.請利用邊長a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件,并證明.
【答案】為銳角三角形的充要條件是.為鈍角三角形的充要條件是.證明見解析
【解析】
根據勾股定理易得為銳角三角形的充要條件是.為鈍角三角形的充要條件是.再分別證明充分與必要性即可.
解:(1)設a,b,c分別是的三條邊,且,為銳角三角形的充要條件是.
證明如下:必要性:在中,是銳角,作,D為垂足,如圖(1).
顯然
,即.
充分性:在中,,不是直角.
假設為鈍角,如圖(2).作,交BC延長線于點D.
則
.
即,與“”矛盾.
故為銳角,即為銳角三角形.
(2)設a,b,c分別是的三條邊,且,為鈍角三角形的充要條件是.
證明如下:必要性:在中,為鈍角,如圖(2),顯然:
.即.
充分性:在中,,
不是直角,假設為銳角,如圖(1),
則
.即,這與“”矛盾,從而必為鈍角,即為鈍角三角形.
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【題目】如圖,在矩形中,,,為邊的中點.將△沿翻折,得到四棱錐.設線段的中點為,在翻折過程中,有下列三個命題:
① 總有平面;
② 三棱錐體積的最大值為;
③ 存在某個位置,使與所成的角為.
其中正確的命題是____.(寫出所有正確命題的序號)
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【題目】已知,函數F(x)=min{2|x1|,x22ax+4a2},
其中min{p,q}=
(Ⅰ)求使得等式F(x)=x22ax+4a2成立的x的取值范圍;
(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);
(ⅱ)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
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【題目】黨的十九大報告指出,建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程,必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置,深化教育資源的均衡發(fā)展.現有4名男生和2名女生主動申請畢業(yè)后到兩所偏遠山區(qū)小學任教.將這6名畢業(yè)生全部進行安排,每所學校至少安排2名畢業(yè)生,則每所學校男女畢業(yè)生至少安排一名的概率為
A. B. C. D.
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【題目】隨著網絡的飛速發(fā)展,人們的生活發(fā)生了很大變化,其中無現金支付是一個顯著特征,某評估機構對無現金支付的人群進行網絡問卷調查,并從參與調查的數萬名受訪者中隨機選取了300人,把這300人分為三類,即使用支付寶用戶、使用微信用戶、使用銀行卡用戶,各類用戶的人數如圖所示,同時把這300人按年齡分為青年人組與中年人組,制成如圖所示的列聯(lián)表:
支付寶用戶 | 非支付寶用戶 | 合計 | |
中老年 | 90 | ||
青年 | 120 | ||
合計 | 300 |
(1) 完成列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為使用支付寶用戶與年齡有關系?
(2)把頻率作為概率,從所有無現金支付用戶中(人數很多)隨機抽取3人,用表示所選3人中使用支付寶用戶的人數,求的分布列與數學期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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【題目】 如圖,要設計一張矩形廣告,該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告面積最。
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【題目】某商場準備在今年的“五一假”期間對顧客舉行抽獎活動,舉辦方設置了兩種抽獎方案,方案的中獎率為,中獎可以獲得分;方案的中獎率為,中獎可以獲得分;未中獎則不得分,每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,并憑分數兌換獎品,
(1)若顧客甲選擇方案抽獎,顧客乙選擇方案抽獎,記他們的累計得分為,若的概率為,求
(2)若顧客甲、顧客乙兩人都選擇方案或都選擇方案進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的均值較大?
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