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3.已知函數(shù)f(x)=|2x1|2x+1
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性.

分析 (1)計算f(-x)和f(x)的關(guān)系,判斷函數(shù)的奇偶性即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)的定義域為R,
fx=|2x1|2x+1=|12x|1+2x=fx,
所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
(2)函數(shù)f(x)的減區(qū)間是(-∞,0),增區(qū)間是(0,+∞),
x∈(-∞,0)時,f(x)=22x+1-1,
任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,
則f(x2)-f(x2
=22x2+1-1-22x1+1+1=22x12x22x1+12x2+1
∵x1<x2,∴2x12x202x1+102x2+10,
∴f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)為減函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題,是一道中檔題.

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