Question

下列命題正確的是（　　）

• A、已知p：

  1

  x+1

  ＞0，則^p：

  1

  x+1

  ≤0
• B、在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a，b，c，則a＞b是cosA＜cosB的充要條件
• C、命題p：對(duì)任意的x∈R，x²+x+1＞0，則?p：對(duì)任意的x∈R，x²+x+1≤0
• D、存在實(shí)數(shù)x∈R，使sinx+cosx=

  π

  2

  成立

Answer 1

分析：選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定求解可知不正確，選項(xiàng)B，因?yàn)锳、B是三角形的內(nèi)角，所以A、B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是減函數(shù)．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案．選項(xiàng)C，根據(jù)命題“對(duì)任意的x∈R，x²+x+1＞0”是全稱命題，其否定是對(duì)應(yīng)的特稱命題，從而得出答案．選項(xiàng)D，sinx+cosx的最大值為

2

，而

π

2

＞

2

，從而可得結(jié)論．

解答：解：選項(xiàng)A，p：x＞-1，則?p：x≤-1，而

1

1+x

≤0的解集是x＜-1，故不正確；
選項(xiàng)B，∵A、B是三角形的內(nèi)角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是減函數(shù)，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故正確；
選項(xiàng)C，全稱性量詞的否定需改成對(duì)應(yīng)的特稱量詞；
選項(xiàng)D，sinx+cosx的最大值為

2

，而

π

2

＞

2

，故不正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意余弦函數(shù)單調(diào)性的合理運(yùn)用，全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化．要注意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．