Question

20．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)之和S_n=12-12（$\frac{2}{3}$）ⁿ，（n∈N^*）．
（1）求證{$\frac{1}{{a}_{n}}$}成等差數(shù)列；
（2）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，繼而得到{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
（2）由b_n=S_n-S_n-1，即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴2a_n+1a_n+a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$，（n∈N^*），
∵S_n=12-12（$\frac{2}{3}$）ⁿ，（n∈N^*），
∴S_n-1=12-12（$\frac{2}{3}$）^n-1，（n∈N^*），
∴b_n=S_n-S_n-1=12-12（$\frac{2}{3}$）ⁿ-12+12（$\frac{2}{3}$）^n-1=6×（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=12-12（$\frac{2}{3}$）¹=4=b₁，此時(shí)b₁=6×（$\frac{2}{3}$）¹=4，
∴n=1時(shí)滿足，
∴b_n=6×（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，關(guān)鍵是構(gòu)造新的數(shù)列和利用遞推公式，屬于基礎(chǔ)題．