Question

13．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosφ}\\{y=-1+tsinφ}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）
（I）求直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，過點B（0，1）作直線l的垂線，垂足為H，試以φ為參數(shù)，求動點H軌跡的參數(shù)方程，并指出軌跡表示的曲線．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)直線的參數(shù)方程得出直線l上的定點，和斜率，得出普通方程，將曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ展開得出曲線C的普通方程；
（II）求出l的垂線方程，解方程組得出H的參數(shù)方程．化成普通方程判斷曲線類型．

解答 解：（I）直線l的普通方程為$\frac{x}{cosφ}$=$\frac{y+1}{sinφ}$，即y=tanφ•x-1．
∵ρ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），∴ρ²=ρsinθ+$\sqrt{3}$ρcosθ，
∴曲線C的普通方程為x²+y²-$\sqrt{3}$x-y=0．
（II）由直線l的參數(shù)方程可知直線l的斜率為tanφ，
∴過點B（0，1）且與直線l垂直的直線方程為y=-$\frac{1}{tanφ}$x+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=tanφ•x-1}\\{y=-\frac{1}{tanφ}•x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2tanφ}{1+ta{n}^{2}φ}}\\{y=\frac{ta{n}^{2}φ-1}{1+ta{n}^{2}φ}}\end{array}\right.$．
∴動點H軌跡的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2tanφ}{1+ta{n}^{2}φ}}\\{y=\frac{ta{n}^{2}φ-1}{1+ta{n}^{2}φ}}\end{array}\right.$（φ是參數(shù)）．
化成普通方程得x²+y²=1．
∴H點的軌跡表示單位圓．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的求解，屬于中檔題．