已知(
x
-
2
x2
n(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10:1.
(1)證明:展開式中沒有常數(shù)項(xiàng);
(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(3)求展開式中有多少項(xiàng)有理項(xiàng)?(不必一一列出)
考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
專題:二項(xiàng)式定理
分析:(1)根據(jù)展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10:1,求得n=8,在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令x的冪指數(shù)等于0,求出5r=8,且r∈Z,這是不可能的,命題得證.
(2)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得,展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5,再根據(jù)通項(xiàng)公式求得結(jié)果.
(3)若Tr+1為有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)
8-5r
2
為整數(shù),而0≤r≤8,可得r的值,從而得出結(jié)論.
解答: 解:(1)由題意可得,第五項(xiàng)系數(shù)為Cn4•(-2)4,第三項(xiàng)的系數(shù)為Cn2•(-2)2
Cn4•(-2)4
Cn2(-2)2
=
10
1
,解得n=8(n=-3舍去).
故通項(xiàng)公式Tr+1=C8r
x
8-r•(-
2
x2
r =C8r(-2)rx
8-5r
2

若Tr+1為常數(shù)項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)
8-5r
2
=0,即5r=8,且r∈Z,這是不可能的,所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).
(2)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=
C
4
8
•x-6=1120x-6
(3)由Tr+1=C8r(-2)rx
8-5r
2
,若Tr+1為有理項(xiàng),
當(dāng)且僅當(dāng)
8-5r
2
為整數(shù),而0≤r≤8,故r=0,2,4,6,8,即展開式的有理項(xiàng)有5項(xiàng).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,求展開式中某項(xiàng)的系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1.
(1)若曲線y=f(x)與y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處有相同的切線,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)a=1,b=0時(shí),求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間[t,t+3](t≥-2)上的最小值;
(3)當(dāng)b=
1-a
2
時(shí),若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:港口A北偏東30°方向的C處有一觀測(cè)站,港口正東方向的B處有一輪船,測(cè)得BC為31n mile,該輪船從B處沿正西方向航行20n mile后到D處,測(cè)得CD為21n mile.
(1)求cos∠BDC;
(2)問此時(shí)輪船離港口A還有多遠(yuǎn)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果數(shù)列{an}同時(shí)滿足:(1)各項(xiàng)均為正數(shù),(2)存在常數(shù)k,對(duì)任意n∈N*,an+12=anan+2+k都成立,那么,這樣的數(shù)列{an}我們稱之為“類等比數(shù)列”.由此各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列”.問:
(1)若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”,且k=(a2-a12,求證:a1、a2、a3成等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”,且k=0,a2、a4、a5成等差數(shù)列,求
a2
a1
的值;
(3)若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”,且a1=a,a2=b(a、b為常數(shù)),是否存在常數(shù)λ,使得an+an+2=λan+1對(duì)任意n∈N*都成立?若存在,求出λ;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:
(1)(-3
3
8
)-
2
3
+0.002-
1
2
-10(
5
-2)-1+(2-
3
)0

(2)
2lg2+lg3
1+
1
2
lg0.36+
1
3
lg8

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證明函數(shù)y=-120x+3在(-∞,+∞)上是減函數(shù).

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若m>1,則函數(shù)f(m)=
m
1
(1-
4
x2
)dx的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:0<a<b<c<d且a+d=b+c,求證:
a
+
d
b
+
c

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將3名男生和4名女生排成一行,甲、乙兩人必須站在兩頭,則不同的排列方法共有
 
種.(用數(shù)字作答)

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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