Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+ln(x+1)
（Ⅰ）如果f（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）如果a＞0，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+ax，求函數(shù)g（x）的極大值．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將導(dǎo)函數(shù)的分子看成一個(gè)函數(shù)h（x），將f（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)轉(zhuǎn)化為方程h（x）=0的根的分布問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象寫出限制條件求出a的范圍．
（II）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根大小的討論判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)一步判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義求出函數(shù)g（x）的極大值．

解答：解：（If′(x)=

ax2-x- a

x+1

設(shè)h（x）=ax²-x-a=0的兩個(gè)根為x₁，x₂
由韋達(dá)定理得x₁•x₂=1
∵f（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)
∴h（x）=0在區(qū)間（1，2）上h（x）=0有且僅有一個(gè)根，另一個(gè)根小于1，
則h（1）h（2）＜0
即（a-1-a）（4a-2-a）＜0
解得a＞

2

3

（II）g′(x)=

ax[x-( 1 a -1)]

x+1

①當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)極值
②當(dāng)a＞1時(shí)，在(-1，

1

a

-1)上，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
在(

1

a

-1，0)上，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
在（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=

1

a

-1時(shí)，g（x）取得極大值為

1

2

a-

1

2a

-1-lna
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間(-1，0)和(

1

a

-1，+∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(0，

1

a

-1)是減函數(shù)
所以函數(shù)g（x）的極大值為g（0）=0

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)在某區(qū)間不單調(diào)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為在區(qū)間函數(shù)有極值；求函數(shù)的極值問(wèn)題，一般求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出極值，若含參數(shù)時(shí)，一般要討論．