如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a,點M、N分別是AB、CD的中點.

(1)求證:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的長;
(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.
(1)證明略(2)MN的長為a. (3)異面直線AN與CM所成角的余弦值為
(1)設(shè)=p, =q,=r.
由題意可知:|p|=|q|=|r|=a,且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.
=-=+)-
=(q+r-p),                                                         2分
·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2
=(a2·cos60°+a2·cos60°-a2)=0.
∴MN⊥AB,同理可證MN⊥CD.                                              4分
(2)由(1)可知=(q+r-p)
∴||2=2=(q+r-p)2                                                6分
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]
=[a2+a2+a2+2(--
=×2a2=.
∴||=a,∴MN的長為a.                                            10分
(3) 設(shè)向量的夾角為.
=(+)=(q+r),
=-=q-p,
·=(q+r)·(q-p)
=(q2-q·p+r·q-r·p)
=(a2-a2·cos60°+a2·cos60°-a2·cos60°)
=(a2-+-)=.                                            12分
又∵||=||=,
·=||·||·cos
=··cos=.
∴cos=,                                                          14分
∴向量的夾角的余弦值為,從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.    
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