Question

（2012•佛山二模）設(shè)曲線C：x²-y²=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，若a₀=0，a_n=

2

d_n-1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)點(diǎn)B_n（a_n，a_n+1）到直線l_n：x-y+

1

2n

=0的距離為t_n，證明：對(duì)?n∈N*，都有不等式：t₁+t₂+…+t_n＜

1

2

成立．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式，采用配方法可得d_n=

2+an2 2

，再根據(jù)a_n=

2

d_n-1，可得d_n=

an+1

2

，從而可得數(shù)列{

a

2 n

}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先證明t_n=

n

-

n+1

+

1

2 n

，進(jìn)而疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則x²-y²=1，所以|PA_n|=

x2+(y-an)2

=

y2+1+(y-an)2

=

2(y- an 2 )2+ 2+an2 2

，
因?yàn)閥∈R，所以當(dāng)y=

an

2

時(shí)，|PA_n|取得最小值d_n，且d_n=

2+an2 2

，
又a_n=

2

d_n-1，∴a_n+1=

2

d_n，∴d_n=

an+1

2

∴

an+1

2

=

2+an2 2

兩邊平方得

a

2 n+1

-

a

2 n

=2，又a₀=0，∴

a

2 1

=2
故數(shù)列{

a

2 n

}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以

a

2 n

=2n，
∵a_n＞0，∴an=

2n

；
（2）證明：tn=

|an-an+1+ 1 2n |

2

=|

n

-

n+1

+

1

2 n

|=

( n+1 - n )2

2 n

∴t_n=

n

-

n+1

+

1

2 n

∴t₁+t₂+…+t_n=1-

n+1

+

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n

∵

1

2 n

＜

1

n-1 + n

=

n

-

n-1

∴

1

2 2

+…+

1

2 n

＜

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

-1
∴t₁+t₂+…+t_n＜1-

n+1

+

1

2

+

n

-1＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)目標(biāo)，適當(dāng)放縮，難度較大．