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3.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AB=1,AD=2,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.
(1)求三棱錐E-PAD的體積;
(2)證明:無論點E在邊BC的何處,都有AF⊥PE.

分析 (1)轉換底面,代入體積公式計算;
(2)利用線線垂直證明AF⊥平面PBC,即可得出結論.

解答 (1)解:∵PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形.
SEAD=12ADAB=1,…(3分)
VEPAD=VPEAD=13SEADPA=13…(6分)
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
又∵PA=AB=1,且點F是PB的中點,
∴AF⊥PB…(8分)
又PA⊥BC,BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,
又AF?平面PAB,∴BC⊥AF…(10分)
{AFPBAFBCPBBC=BAF⊥平面PBC,又∵PE?平面PBC
∴無論點E在邊BC的何處,都有AF⊥PE成立.…(12分)

點評 本題給出特殊的四棱錐,考查了線面垂直的證明與性質的運用,考查了學生的空間想象能力與推理論證能力,關鍵是要熟練掌握定理的條件.

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