Question

3．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=1，AD=2，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）求三棱錐E-PAD的體積；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有AF⊥PE．

Answer 1

分析 （1）轉換底面，代入體積公式計算；
（2）利用線線垂直證明AF⊥平面PBC，即可得出結論．

解答 （1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形．
∴${S_{△EAD}}=\frac{1}{2}AD•AB=1$，…（3分）
∴${V_{E-PAD}}={V_{P-EAD}}=\frac{1}{3}{S_{EAD}}•PA=\frac{1}{3}$…（6分）
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵PA=AB=1，且點F是PB的中點，
∴AF⊥PB…（8分）
又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴BC⊥AF…（10分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{AF⊥PB}\\{AF⊥BC}\\{PB∩BC=B}\end{array}⇒}\right.$AF⊥平面PBC，又∵PE?平面PBC
∴無論點E在邊BC的何處，都有AF⊥PE成立．…（12分）

點評 本題給出特殊的四棱錐，考查了線面垂直的證明與性質的運用，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力，關鍵是要熟練掌握定理的條件．