Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，一曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變．直線m⊥AB于O，AO=BO．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)D為直線m上一點(diǎn)，

OD

=

AC

，過(guò)點(diǎn)D引直線l交曲線E于M、N兩點(diǎn)，保持直線l與AB成45°，求四邊形MANB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）以AB為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系，由此能推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，且a=

2

，c=1，從而b=1，從而能求出曲線E的方程．
（2）由已知條件設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線方程為y=x+

2

2

，代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，由韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式能求出四邊形MANB的面積．

解答： 解：（1）以AB為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

4+ 1 2

=2

2

，
∴動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，且a=

2

，c=1，從而b=1．
∴曲線E的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）由題設(shè)知|

OD

|=

2

2

，由直線l與AB成45°角，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線方程為y=x+

2

2

，
代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，得
3x2+2

2

x-1=0，
∴x1+x2=-

2 2

3

，x₁x₂=

2 10

3

，
A，B到直線MN的距離為d₁=

|-2+ 2 |

2 2

=

2 -1

2

，d2=

2 +1

2

，
∴四邊形MANB的面積S=

1

2

•

2 10

3

•(

2 -1

2

+

2 +1

2

)=

2 5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線E的方程的求法，考查四邊形MANB的面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．