設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
,點A0表示原點,點An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
a
與向量
i
=(1,0)
的夾角,
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
,設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn,則
lim
n→∞
Sn
=
1
1
分析:利用向量求和知識向量化簡為=
.
A0
An
,利用向量夾角概念可得tanθn=
f(n)
n
=
1
n×(n+1)
,再利用數(shù)列裂項相消求和知識及極限運算法則可得解.
解答:解:由向量求和知
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
=
.
A0
An

∵函數(shù)f(x)=
1
x+1
,點A0表示原點,點An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
a
與向量
i
=(1,0)
的夾角,
∴tanθn=
f(n)
n
=
1
n×(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,
∴Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1

lim
n→∞
Sn=1

故答案為1.
點評:本題的考點是數(shù)列的極限,主要考查向量與極限結(jié)合的綜合.涉及向量運算的多邊形法則及向量夾角概念.考查數(shù)列求和的裂項相消方法及極限運算法則,有一定的綜合性.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1x-1
-1

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(Ⅱ) 證明函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•山東)設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x
,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
,點A0表示坐標原點,點An(n,f(n))(n∈N*),若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夾角,(其中
i
=(1,0)
),設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,則Sn=
n
n+1
n
n+1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+2
+lg
1-x
1+x

(1)求f(x)的定義域.
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明.
(3)解關(guān)于x的不等式f[x(x-
1
2
)]<
1
2

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