Question

4．為迎接2016年“猴”年的到來，某電視臺舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題，問題A有三個選項，問題B有四個選項，每題只有一個選項是正確的，正確回答問題A可獲獎金1千元，正確回答問題B可獲獎金2千元．活動規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序，如果第一個問題回答正確，則繼續(xù)答題，否則該參與者猜獎活動終止．假設某參與者在回答問題前，選擇每道題的每個選項的機會是等可能的．
（Ⅰ）如果該參與者先回答問題A，求其恰好獲得獎金1千元的概率；
（Ⅱ）試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）隨機猜對問題A的概率P₁=$\frac{1}{3}$，隨機猜對問題B的概率P₂=$\frac{1}{4}$，利用概率的乘法公式可求參與者先回答問題A，恰好獲得獎金1千元的概率；
（Ⅱ）參與者回答問題的順序有兩種，先回答問題A，再回答問題B．先回答問題B，再回答問題A，做出兩種情況下的獲勝的期望，進行比較，分類討論．

解答 解：（Ⅰ）隨機猜對問題A的概率P₁=$\frac{1}{3}$，隨機猜對問題B的概率P₂=$\frac{1}{4}$．
設參與者先回答問題A，且恰好獲得獎金1千元為事件M，
則P（M）=P₁（1-P₂）=$\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{4}$，
即參與者先回答問題A，其恰好獲得獎金1千元的概率為$\frac{1}{4}$．
（2）參與者回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
①先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎金額ξ可取0，1000，3000，
則P（ξ=0）=1-P₁=$\frac{2}{3}$，
P（ξ=1000）=P₁（1-P₂）=$\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）=\frac{1}{4}$，
P（ξ=3000）=P₁P₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，
∴Eξ=0×$\frac{2}{3}$+1000×$\frac{1}{4}$+3000×$\frac{1}{12}$=500．
②先回答問題B，再回答問題A，參與者獲獎金額η，可取0，2000，3000，
則P（η=0）=1-P₂=1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
P（η=2000）=（1-P₁）P₂=$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=3000）=P₂P₁=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$．
∴Eη=0×$\frac{3}{4}$+2000×$\frac{1}{6}$+3000×$\frac{1}{12}$≈583．
∴先回答問題B，再回答問題A，能使該參與者獲獎金額的期望值較大．

點評 本題考查概率的計算，考查期望，期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，是中檔題．