Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^1-x+lnx-x²．
（I）若f（x）的定義域為（$\frac{1}{2}$，+∞），解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）證明：f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一極值點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)得到e+e^x（lnx-x²）≥0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-x²，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，繼而得到不等式的解集；
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x（1-2x）-ex，求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)t（x）=-2x²-4x+1=-2（x+1）²+3，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，即可
判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^1-x+lnx-x²，
∴e+e^x（lnx-x²）≥0，
設(shè)f（x）=0，解得x=1，
設(shè)g（x）=lnx-x²，
則g′（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)g′（x）≥0時，解得0＜x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時，解得x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，g（x）有最大值，
即g（x）_max=g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$＜0，
∴e^x（lnx-x²）為減函數(shù)，
∴f（x）≥0的解集為（$\frac{1}{2}$，1]
（2）∵f′（x）=-e^1-x+$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{{e}^{x}（1-2x）-ex}{x{e}^{x}}$
令f′（x）=0，即e^x（1-2x）-ex=0，
設(shè)h（x）=e^x（1-2x）-ex，
∴h′（x）=e^x（-2x²-4x+1）-e，
設(shè)t（x）=-2x²-4x+1=-2（x+1）²+3，
∴t（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴t（$\frac{1}{2}$）＜t（x）＜t（0），
即-$\frac{3}{2}$＜t（x）＜1，
∴e^x（-2x²-4x+1）-e＜0，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴f′（0）=1＞0，f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{e}$-e）＜0，
∴f′（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一解，
∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一極值點

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，分析解決問題的能力，運算能力，屬于難題．