解:(I)函數(shù)f(x)=
=
Asinωxcosωx+
cos2ωx=A(
sinωxcosωx+
cos2ωx)=Asin(2ωx+
),…(3分)
因為函數(shù)f(x)的最大值為3,且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,
所以A=3,函數(shù)的周期T=2π,又 T=
,所以ω=
. …(5分)
所以 f(x)=3sin(x+
). …(6分)
(II)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
個單位,得到函數(shù) y=3sin[(x+
)+
]的圖象,
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
倍,縱坐標不變,得到函數(shù)g(x)=3sin(2x+
)的圖象. …(8分)
(1)因為函數(shù)y=sinx 的單調遞減區(qū)間為[2kπ+
,2kπ+
],(k∈z ),
所以 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
,解得 kπ+
≤x≤kπ+
,
所以函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間為[kπ+
,kπ+
],(k∈z).…(11分)
(2)當x∈[
,
]時,2x+
∈[
,
],sin(2x+
)∈[-
,
],g(x)∈[-
,
].
所以函數(shù)g(x)在[
,
]上的值域為[-
,
]. …(14分)
分析:(I)利用兩個向量的數(shù)量積的定義、三角函數(shù)的恒等變換,化簡函數(shù)f(x)的解析式為Asin(2ωx+
),由最大值求得A,由周期求出ω,從而確定函數(shù)f(x)的解析式.
(II)根據y=Asin(ωx+∅)的圖象變換規(guī)律 求出函數(shù)g(x)=3sin(2x+
).(1)由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
,求得x的范圍,即可求得g(x)的單調遞減區(qū)間.
(2)當x的范圍,求得2x+
的范圍,可得sin(2x+
)的范圍,從而求得g(x)的范圍.
點評:本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義,三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,y=Asin(ωx+∅)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的定義域和值域、單調性,屬于中檔題.