Question

某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺，上不是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱。

（1）   證明：直線平面；

（2）現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費為元，需加工處理費多少元？

 

Answer 1

【答案】

 （1）見解析    （2）

【解析】（1）因為四棱柱的側面是全等的矩形，所以   又因為，所以平面

連接，因為平面，所以

因為底面是正方形，所以。根據棱臺的定義可知，與共面。

又已知平面平面，且平面平面

平面，所以，于是

由，可得，

又因為，所以平面。

（2）因為四棱柱的底面是正方形，側面是全等的矩形，所以

又因為四棱臺的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形，所以

于是該實心零部件的表面積為，故所需加工處理費為（元）

【點評】本題考查線面垂直，空間幾何體的表面積；考查空間想象，運算求解以及轉化與劃歸的能力.線線垂直線面垂直面面垂直是有關垂直的幾何問題的常用轉化方法；四棱柱與四棱臺的表面積都是由簡單的四邊形的面積而構成，只需求解四邊形的各邊長即可.來年需注意線線平行，面面平行特別是線面平行，以及體積等的考查