Question

已知數(shù)列的首項(xiàng)為，對(duì)任意的，定義.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(ii)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.

Answer 1

(1) ,,
(2) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

試題分析：(Ⅰ) 解：(i),,     ………………2分
由得
當(dāng)時(shí)，
=………4分
而適合上式，所以.………………5分
(ii)由(i)得：     ……………6分

……………7分
                             …………8分
(Ⅱ)解：因?yàn)閷?duì)任意的有，
所以數(shù)列各項(xiàng)的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為.        …………9分
又?jǐn)?shù)列的前6項(xiàng)分別為，且這六個(gè)數(shù)的和為8. ……………10分
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，
當(dāng)時(shí)，
，       ……………11分
當(dāng)時(shí)，

 ，                    …………12分
當(dāng)時(shí)
所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，. ……………13分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于數(shù)列的遞推關(guān)系的理解和運(yùn)用，并能結(jié)合裂項(xiàng)法求和，以及分情況討論求和，屬于中檔題。