Question

已知x，y滿足

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

．
（1）求z=x²+y²+2x-2y+2的最小值；
（2）求z=|x+2y-4|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）z=x²+y²+2x-2y+2的幾何意義為兩點(diǎn)間的距離的平方，
（2）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域利用z=|x+2y-4|的幾何意義，即可求最大值；

解答： 解：（1）畫出不等式組所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖中陰影部分．并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)C（1，3）、B（3，1）、A（7，9）．
z=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²表示陰影部分中的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)D（-1，1）距離的平方，
由圖可知CD的距離最小此時(shí)z=（1+1）²+（3-1）²=4+4=8．
因此z的最小值是8．
（2）易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x+2y-4=0的上方，故x+2y-4＞0，
即z=|x+2y-4|=x+2y-4，
由z=x+2y-4，得y=-

1

2

x+

z

2

+2，平移直線y=-

1

2

x+

z

2

+2，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線y=-

1

2

x+

z

2

+2的截距最大，此時(shí)z最大，
將點(diǎn)A（7，9）代入z得最大值為z=7+18-4=21．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義．