已知數(shù)列{an}中,a1=2,對于任意的p,q∈N*,有ap+q=ap+aq
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:an=
b1
2+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-
b4
24+1
+…+(-1)n-1
bn
2n+1
(n∈N*)
求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)設Cn=3n+λbn(n∈N*),是否存在實數(shù)λ,當n∈N*時,Cn+1>Cn恒成立,若存在,求實數(shù)λ的取值范圍,若不存在,請說明理由.
分析:(1)取p=n,q=1,則an+1=an+a1=an+2,所以an+1-an=2,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(2)由
b1
21+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-
b4
24+1
++(-1)n-1
bn
2n+1
=an(n≥1)
,知
b1
21+1
-
b2
22+1
++(-1)n-2
bn-1
2n-1+1
=an-1(n≥2)
,所以(-1)n-1
bn
2n+1
=2(n≥2)
bn=(-1)n-1(2n+1+2),由此能夠得到bn
(3)Cn=3n+(-1)n-1(2n+1+2)•λ.假設存在λ,使Cn+1>Cn(n∈N*)3n+1+(-1)n(2n+2+2)•λ>3n+(-1)n-1(2n+1+2)•λ[(-1)n(2n+2+2)-(-1)n-1(2n+1+2)]•λ>3n-3n+1=-2•3n(-1)n(3•2n+1+4)•λ>-2•3n.再由n的奇偶性進行分類討論知存在實數(shù)λ,且λ∈(-
9
14
,
3
8
)
解答:解:(1)取p=n,q=1,則an+1=an+a1=an+2
∴an+1-an=2(n∈N*
∴{an}是公差為2,首項為2的等差數(shù)列
∴an=2n(4分)
(2)∵
b1
21+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-
b4
24+1
++(-1)n-1
bn
2n+1
=an(n≥1)

b1
21+1
-
b2
22+1
++(-1)n-2
bn-1
2n-1+1
=an-1(n≥2)

①-②得:(-1)n-1
bn
2n+1
=2(n≥2)
bn=(-1)n-1(2n+1+2)(n≥2)
當n=1時,a1=
b1
3
∴b1=6滿足上式
∴bn=(-1)n-1(2n+1+2)(n∈N*)(9分)
(3)Cn=3n+(-1)n-1(2n+1+2)•λ
假設存在λ,使Cn+1>Cn(n∈N*)3n+1+(-1)n(2n+2+2)•λ>3n+(-1)n-1(2n+1+2)•λ[(-1)n(2n+2+2)-(-1)n-1(2n+1+2)]•λ>3n-3n+1=-2•3n(-1)n(3•2n+1+4)•λ>-2•3n
當n為正偶函數(shù)時,(3•2n+1+4)λ>-2•3n恒成立λ>(-
3n
3•2n+2
)max=(-
1
3•(
2
3
)
n
+2•(
1
3
)
n
)max

當n=2時(-
1
3•(
2
3
)
n
+2(
1
3
)
n
)max=-
9
14

λ>-
9
14

當n為正奇數(shù)時,-(3•2n+1+4)•λ>-2•3n恒成立
λ<(
3n
3•2n+2
)min=(
1
3•(
2
3
)
n
+2(
1
3
)
n
)min

當n=1時[
1
3(
2
3
)
n
+2(
1
3
)
n
]min=
3
8

λ<
3
8

綜上,存在實數(shù)λ,且λ∈(-
9
14
,
3
8
)
(16分)
點評:本題考查不等式的性質和應用,解題時要認真審題,注意分類討論思想的合理運用.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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