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19.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,焦距為2,設點P(a,b)滿足△PF1F2是等腰三角形.
(1)求該橢圓方程;
(2)過x軸上的一點M(m,0)作一條斜率為k的直線l,與橢圓交于點A,B兩點,問是否存在常數(shù)k,使得|MA|2+|MB|2的值與m無關?若存在,求出這個k的值;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)根據(jù)題意,有{2c=2a12+b2=4,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)聯(lián)立方程組{y=kxmx24+y23=1,得:(3+4k2)x2-8k2mx+4m2-12=0,由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式,結(jié)合已知條件推導出|MA|2+|MB|2=7與m無關符合題意.

解答 (本題15分)
解:(Ⅰ)∵橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,焦距為2,
設點P(a,b)滿足△PF1F2是等腰三角形,
∴根據(jù)題意,有{2c=2a12+b2=4…(4分)
解得:{a=2b=3
故所求橢圓方程為x24+y23=1.…(6分)
(Ⅱ)聯(lián)立方程:{y=kxmx24+y23=1,整理得:(3+4k2)x2-8k2mx+4m2-12=0
在△>0的情況下有:{x1+x2=8k2m3+4k2x1x2=4m2123+4k2…(9分)
|MA|2+|MB|2=1+k2[x1m2+x2m2]=1+k2[x1+x222x1x22mx1+x2+2m2]=1+k23+4k22[24k2+18m2+96k2+72]
令-24k2+18=0,得k2=34,即k=±32…(13分)
此時|MA|2+|MB|2=7與m無關符合題意,…(15分)

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用.

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