【題目】設數(shù)列的各項均為不等的正整數(shù),其前項和為,我們稱滿足條件“對任意的,均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.

(1)試分別判斷數(shù)列,是否為“好”數(shù)列,其中,,,并給出證明;

(2)已知數(shù)列為“好”數(shù)列.

① 若,求數(shù)列的通項公式;

② 若,且對任意給定正整數(shù)),有成等比數(shù)列,求證:

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

(1),運用等差數(shù)列的求和公式,通過檢驗即可判斷(2)對任意的,均有,令,則,即,消去,可得從而證明為等差數(shù)列,①進而求其通項公式② ,則,由成等比數(shù)列,運用等比中項性質,結合等差數(shù)列的通項公式,化簡整理,求得的表達式,分析整理由不等式性質,即可得證.

(1)若,則,所以,

所以對任意的均成立,

即數(shù)列是“好”數(shù)列;

,取,

,

此時

即數(shù)列不是“好”數(shù)列.

(2)因為數(shù)列為“好”數(shù)列,取,則,即恒成立.

,有,

兩式相減,得),

),

所以),

所以,

,即),

時,有,即,

所以對任意,恒成立,

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

設數(shù)列的公差為

,則,即

因為數(shù)列的各項均為不等的正整數(shù),所以,

所以,,所以

,則,

成等比數(shù)列,得,所以,

化簡得,,

因為是任意給定正整數(shù),要使,必須,

不妨設,由于是任意給定正整數(shù),

所以

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】圓周率π是數(shù)學中一個非常重要的數(shù),歷史上許多中外數(shù)學家利用各種辦法對π進行了估算.現(xiàn)利用下列實驗我們也可對圓周率進行估算.假設某校共有學生N人,讓每人隨機寫出一對小于1的正實數(shù)a,b,再統(tǒng)計出a,b1能構造銳角三角形的人數(shù)M,利用所學的有關知識,則可估計出π的值是( )

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列說法正確的是(

A.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查.已知該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為6554,則應從一年級中抽取90名學生

B.10件產品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率為

C.已知變量xy正相關,且由觀測數(shù)據(jù)算得=3,=35,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是=0.4x+2.3

D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球,至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了更好地貫徹黨的五育并舉的教育方針,某市要對全市中小學生體能達標情況進行了解,決定通過隨機抽樣選擇幾個樣本校對學生進行體能達標測試,并規(guī)定測試成績低于60分為不合格,否則為合格,若樣本校學生不合格人數(shù)不超過其總人數(shù)的5%,則該樣本校體能達標為合格.已知某樣本校共有1000名學生,現(xiàn)從中隨機抽取40名學生參加體能達標測試,首先將這40名學生隨機分為甲、乙兩組,其中甲乙兩組學生人數(shù)的比為3:2,測試后,兩組各自的成績統(tǒng)計如下:甲組的平均成績?yōu)?/span>70,方差為16,乙組的平均成績?yōu)?/span>80,方差為36.

1)估計該樣本校學生體能測試的平均成績;

2)求該樣本校40名學生測試成績的標準差s;

3)假設該樣本校體能達標測試成績服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標準差s作為的估計值,利用估計值估計該樣本校學生體能達標測試是否合格?

(注:1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結果都精確到整數(shù);2若隨機變量z服從正態(tài)分布,則,,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調性;

2)若函數(shù)有極大值M,求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項和為,把滿足條件(對任意的)的所有數(shù)列構成的集合記為.

1)若數(shù)列的通項為,判斷是否屬于,并說明理由;

2)若數(shù)列的通項為,判斷是否屬于,并說明理由;

3)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為,已知,且,對一切都成立.

1)當時,證明數(shù)列是常數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;

2)是否存在實數(shù),使數(shù)列是等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,直線平面,E,F分別是,的中點.

1)記平面與平面的交線為l,試判斷直線l與平面的位置關系,并加以證明;

2)設,求二面角大小的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系,.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,點上的動點,的中點.

1)請求出點軌跡的直角坐標方程;

2)設點的極坐標為若直線經過點且與曲線交于點,弦的中點為,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案