Question

11．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)
耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
（參考數(shù)值3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
（附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本均值）

Answer 1

分析 （1）把所給的四對(duì)數(shù)據(jù)寫成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點(diǎn)圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出a的值，得到線性回歸方程；根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計(jì)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗．

解答 解：（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示：
．…（4分）
（2）由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=86，
=43+4+5+6=4.5（噸），
=42.5+3+4+4.5=3.5（噸）．
已知$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：
$\widehat$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}•\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=86-4×4.5266.5-4×4.5×3.5=0.7，
$\widehat{a}$=-$\widehat$=3.5-0.7×4.5=0.35．
因此，所求的線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+0.35．…（9分）
由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：
90-（0.7×100+0.35）=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，兩個(gè)變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．