已知函數(shù)f(x)=ax3-
3
2
ax2
,函數(shù)g(x)=3(x-1)2
(1)當(dāng)a>0時(shí),求f(x)和g(x)的公共單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的極小值;
(3)討論方程f(x)=g(x)的解的個(gè)數(shù).
(1)f′(x)=3ax2-3ax=3ax(x-1),a>0時(shí),由f′(x)>0,得x<0或x>1,由f′(x)<0,得0<x<1,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).而函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).所以?xún)蓚(gè)函數(shù)的公共單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),公共單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).
(2)h(x)=ax3-
3
2
ax2
-3(x-1)2
h′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
2
a
)(x-1),
令h′(x)=0,得x=
2
a
,或x=1,由于
2
a
<1,
易知x=1為h(x)的極小值點(diǎn),
所以h(x)的極小值為h(1)=-
a
2

(3)由(2)h(x)=ax3-
3
2
ax2
-3(x-1)2.h′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
2
a
)(x-1),
①若a=0,則h(x)=-3(x-1)2.h(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=g(x)只有一個(gè)解.
②若a<0,則h(x)的極大值為h(1)=-
a
2
,h(x)的極小值為h(
2
a
)=-
4
a2
+
6
a
-3
<0,h(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=g(x)有三個(gè)解.
③若0<a<2,則h(x)的極大值為h(1)=-
a
2
<0,h(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=g(x)只有一個(gè)解.
④若a=2,則h′(x)=6(x-1)2≥0,h(x)單調(diào)遞增,h(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=g(x)只有一個(gè)解.
⑤若a>2,則由(2)知,h(x)的極大值為h(
2
a
)=-4(
1
a
-
3
4
)2-
3
4
<0,h(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=g(x)只有一個(gè)解.
綜上所述,當(dāng)a≥0,方程f(x)=g(x)只有一個(gè)解.若a<0,方程f(x)=g(x)有三個(gè)解.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
)>3

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