Question

如圖，四邊形PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（Ⅰ）若M為PA的中點(diǎn)，求證AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求三棱錐A-MDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若M為PA的中點(diǎn)，鏈接PC，交DE于點(diǎn)N，可得MN為三角形PAC的中位線，故有MN∥AC．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得 AC∥平面MDE．
（Ⅱ）由題意可得CD⊥平面PAD，再由CE平行于平面PAD可得，點(diǎn)E到平面PAD的距離等于CD．再根據(jù)三棱錐A-MDE的體積V_A-MDE=V_E-DAM=

1

3

•S_ADM•CD，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：證明：（Ⅰ）若M為PA的中點(diǎn)，鏈接PC，交DE于點(diǎn)N，
由四邊形PDCE為矩形，可得N為PC的中點(diǎn)，
故MN為三角形PAC的中位線，故有MN∥AC．
而MN?平面MDE，AC不在平面MDE內(nèi)，故有AC∥平面MDE．
（Ⅱ）由于平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a，故有CD⊥平面PAD．
再由CE平行于平面PAD可得，點(diǎn)E到平面PAD的距離等于CD．
三棱錐A-MDE的體積V_A-MDE=V_E-DAM=

1

3

•S_ADM•CD
=

1

3

•（

1

2

•SPAD）•CD=

1

3

•（

1

2

•

1

2

a•

2

a）•2a=

2

6

•a³．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．